Loi faible des grands nombres :

• \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de Variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées

$$\Huge\iff$$

• On a la convergence dans \(L^2\) : $$\overline{X_n}\overset{L^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{\Bbb E}[X_1]$$ i.e. \({\Bbb E}[(X-X_n)^2]{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\).

Questions de cours

On a la limite de \({\Bbb E}[\overline{X_n}]\) par linéarité.

On a aussi la convergence des variances vers \(0\).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer comment on peut affaiblir les hypothèses de la loi faible des grands nombres.
Verso:

• on peut remplacer "identiquement distribuées" par "de même espérance et de variances bornées"
• on peut remplacer l'indépendance par le fait que \(\operatorname{cov}(X_i,X_j)=0\) \(\forall i\ne j\)

Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer le terme "faible" dans "loi faible des grands nombres".
Verso: On utilise ce terme car la convergence est faible et se fait dans \(L^2\).
Bonus: La Loi forte des grands nombres, en opposition, utilise une convergence presque sûre, forte.
Carte inversée ?:
END